Exercice 5, § 21

Soit $(M, \pi )$ une représentation de G.

a) Soient H un sous-groupe de G, S un système de représentants dans G des classes à gauche (mod. H) et N un sous-espace vectoriel de M stable par H. Pour que la représentation de G dans M soit isomorphe à la représentation induite par celle de H dans N, il faut et il suffit qu’on ait $M =\bigoplus_{s\in S}sN$.

b) On suppose que M est somme directe d’une famille $(M_i)_{i\in I}$ de sous-espaces et qu’il existe une action transitive de G sur I telle que $\pi (g)(M_i)\subset M_{gi}$ pour $g\in G,i\in I$. Soit $o\in I$, et soit $G_o$ son stabilisateur dans G ; prouver que $\pi$ est isomorphe à la représentation induite par la représentation de $G_o$ dans $M_o$. Si $\pi$ est irréductible, la condition de transitivité de l’action de G sur I est automatiquement vérifiée.