Bài tập 8, § 21

Cho H và F là các nhóm con của G, và cho S là một tập con của G sao cho G là hợp rời nhau của các lớp kép $FsH$. Cho $(N, \sigma )$ là một biểu diễn của H. Với $s\in G$, đặt $H_s= F\cap sHs^{-1}$, và ký hiệu bởi $\sigma_s$ biểu diễn của $H_s$ trong N được xác định bởi $\sigma_s(x) =\sigma (s^{-1}xs)$. a) Chứng minh rằng biểu diễn Res$^G_F$(Ind$^G_H(\sigma )$) đẳng cấu với tổng trực tiếp của các biểu diễn Ind$^F_{H_s}(\sigma_s)$ với $s\in S$. (Ký hiệu biểu diễn Ind$^G_H(\sigma )$ bởi $(M, \pi )$. Không gian M có thể được đồng nhất với tổng trực tiếp của các $\pi (x)N$ với $x\in G/H$. Với $s\in S$, gọi $M(s)$ là không gian con của M sinh bởi các $\pi (x)N$ với $x\in FsH$. Nhận thấy rằng $M(s)$ là tổng trực tiếp của các không gian con $\pi (xs)N$ với $x\in F/H_s$, và suy ra từ Bài tập 5, b) rằng như một K[F]-môđun, $M(s)$ đẳng cấu với Ind$^F_{H_s}(\sigma_s).)$ b) Lấy F = H (để có $H_s= H\cap sHs^{-1}$). Chứng minh rằng biểu diễn Ind$^G_H(\sigma )$ là bất khả quy nếu và chỉ nếu $\sigma$ là bất khả quy và với mọi $s\in G$- H, các giá đỡ (VIII, p. 66) của các biểu diễn $\sigma_s$ và Res$^H_{H_s}(\sigma )$ là rời nhau (“tiêu chuẩn của Mackey”: áp dụng a) và tương hỗ Frobenius).

c) Giả sử rằng H là chuẩn tắc; khi đó Ind$^G_H(\sigma )$ là bất khả quy khi và chỉ khi $\sigma$ là bất khả quy và không đẳng cấu với bất kỳ liên hợp nào của nó $\sigma \circ$ int($g$) với $g\in G$- H.