Bài tập 1, § 3

Cho A là một vành và $\mathfrak{m}$ là một iđêan trái cực đại của A. Cho B là tập hợp các phần tử $b$ của A sao cho $\mathfrak{m}b\subset \mathfrak{m}$. Chứng minh rằng B là vành con lớn nhất của A chứa $\mathfrak{m}$ trong đó $\mathfrak{m}$ là một iđêan hai phía. Cho S là A-môđun $A_s/\mathfrak{m}, D$ là hoán tập của nó, và $\pi$ là ánh xạ chính tắc từ $A_s$ đến S. Chứng minh rằng, với $b\in B$ cho trước, tồn tại một phần tử duy nhất $u_b$ của End$_A(S)$ sao cho $u_b(\pi (a)) =\pi (ab)$ với mọi $a\in A$. Ánh xạ $b\mapsto u_b$ cảm sinh một đẳng cấu từ $B/\mathfrak{m}$ đến End$_A(S)$.