Exercice 1, § 3

Soient A un anneau, $\mathfrak{m}$ un idéal à gauche maximal de A. Soit B l’ensemble des éléments $b$ de A tels que $\mathfrak{m}b\subset \mathfrak{m}$. Prouver que B est le plus grand sous-anneau de A contenant $\mathfrak{m}$ et dans lequel $\mathfrak{m}$ soit un idéal bilatère. Soient S le A-module $A_s/\mathfrak{m}, D$ son commutant, $\pi$ l’application canonique de $A_s$ sur S ; prouver que, étant donné $b\in B$, il existe un unique élément $u_b$ de End$_A(S)$ tel que $u_b(\pi (a)) =\pi (ab)$ pour tout $a\in A$. L’application $b\rightarrow u_b$ induit un isomorphisme de $B/\mathfrak{m}$ sur End$_A(S)$.