Bài tập 10, § 3

Cho $\rho : A\rightarrow B$ là một đồng cấu vành được dùng để xem B như một A-môđun phải. Giả sử rằng B-môđun trái Hom$_A(B,A)$ đẳng cấu với $B_s$.

a) Cho M là một B-môđun, và cho $\varphi : B_s\rightarrow$ Hom$_A(B,A)$ là một đẳng cấu. Chứng minh rằng ánh xạ $u\mapsto \varphi (1)\circ u$ từ Hom$_B(M,B)$ đến Hom$_A(M,A)$ là song ánh.

b) Giả sử thêm rằng A-môđun B sinh hữu hạn. Vành B là tự nội xạ (Bài tập 8) nếu và chỉ nếu điều tương tự cũng đúng đối với A.

c) Chứng minh rằng các điều kiện ở trên được thỏa mãn khi lấy B là A-môđun A[G] được trang bị cấu trúc vành sao cho $(ae_g)(a'e_{g'}) =aa'e_{gg'}$ với $a, a'$ trong A và $g, g'$ trong G. Đặc biệt, nếu K là một trường giao hoán, thì đại số K[G] là tự nội xạ.