Exercice 10, § 3

Soient $\rho : A\rightarrow B$ un homomorphisme d’anneaux, à l’aide duquel on considère B comme un A-module à droite. On suppose que le B-module à gauche Hom$_A(B,A)$ est isomorphe à $B_s$.

a) Soit M un B-module ; soit $\varphi : B_s\rightarrow$ Hom$_A(B,A)$ un isomorphisme. Prouver que l’application $u\rightarrow \varphi (1)\circ u$ de Hom$_B(M,B)$ dans Hom$_A(M,A)$ est bijective.

b) On suppose en outre que le A-module B est de type fini. Pour que l’anneau B soit auto-injectif (exerc. 8), il faut et il suffit qu’il en soit ainsi de A.

c) Soit G un groupe fini ; montrer que les conditions précédentes sont satisfaites lorsqu’on prend pour B le A-module A[G] muni de la structure d’anneau telle que $(ae_g)(a'e_{g'}) =aa'e_{gg'}$ pour $a, a'$ dans A et $g, g'$ dans G. En particulier, si K est un corps commutatif, l’algèbre K[G] est auto-injective.