Bài tập 5, § 3

Cho A là một vành.

a) Cho M, N là các A-môđun đơn sinh. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Các A-môđun M và N đẳng cấu.

(ii) Với mọi phần tử sinh $m$ của M, tồn tại một phần tử sinh $n$ của N có cùng linh hóa tử với $m$.

(iii) Tồn tại một phần tử sinh của M và một phần tử sinh của N có cùng linh hóa tử.

b) Cho $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ là các iđêan (trái) của A. Các A-môđun $A/\mathfrak{a}$ và $A/\mathfrak{b}$ đẳng cấu khi và chỉ khi tồn tại một phần tử $a$ của A sao cho $Aa+\mathfrak{b}= A$ và $\mathfrak{a}$ là tập hợp các phần tử $x$ của A sao cho $xa\in \mathfrak{b}$ (dùng a)).

c) Cho $\mathfrak{m}$ và $\mathfrak{n}$ là các iđêan trái cực đại của A. Các A-môđun đơn $A/\mathfrak{m}$ và $A/\mathfrak{n}$ đẳng cấu khi và chỉ khi tồn tại một phần tử $a$ của A$-\mathfrak{n}$ sao cho $\mathfrak{m}a\subset \mathfrak{n}$. d) Suy ra từ b) rằng tập hợp các A-môđun thương của A-môđun $A_s$ đẳng cấu với một môđun cho trước có lực lượng nhỏ hơn Card(A).