Exercice 5, § 3

Soit A un anneau.

a) Soient $M,N$ des A-modules monogènes. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Les A-modules M et N sont isomorphes ;

(ii) Pour tout générateur $m$ de M, il existe un générateur $n$ de N ayant le même annulateur que $m$;

(iii) Il existe un générateur de M et un générateur de N ayant le même annulateur.

b) Soient $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ des idéaux (à gauche) de A. Pour que les A-modules $A/\mathfrak{a}$ et $A/\mathfrak{b}$ soient isomorphes, il faut et il suffit qu’il existe un élément $a$ de A tel que $Aa+\mathfrak{b}= A$ et que $\mathfrak{a}$ soit l’ensemble des éléments $x$ de A tels que $xa\in \mathfrak{b}$ (utiliser a)).

c) Soient $\mathfrak{m}$ et $\mathfrak{n}$ des idéaux à gauche maximaux de A. Pour que les A-modules simples $A/\mathfrak{m}$ et $A/\mathfrak{n}$ soient isomorphes, il faut et il suffit qu’il existe un élément $a$ de A$-\mathfrak{n}$ tel que $\mathfrak{m}a\subset \mathfrak{n}$.

d) Déduire de b) que l’ensemble des A-modules quotients du A-module $A_s$ isomorphes à un module donné a un cardinal inférieur à Card(A).