Bài tập 8, § 3

Cho A là một vành sao cho các A-môđun $A_s$ và $A_d$ có độ dài hữu hạn. Ta đồng nhất $A_d$ với đối ngẫu của $A_s$. Với mọi iđêan trái $\mathfrak{s}$ của A, trực giao $\mathfrak{s}^0$ của $\mathfrak{s}$ là linh tử phải của $\mathfrak{s}$ trong A; tương tự, với mọi iđêan phải $\mathfrak{d}$, trực giao $\mathfrak{d}^0$ là linh hóa tử trái của $\mathfrak{d}$. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Mọi A-môđun đơn (trái hoặc phải) đều phản xạ.

(ii) Đối ngẫu của mọi A-môđun đơn (trái hoặc phải) đều đơn.

(iii) Với mọi iđêan trái tối tiểu $\mathfrak{s}$ và mọi iđêan phải tối tiểu $\mathfrak{d}$, ta có $\mathfrak{s}^{00}=\mathfrak{s}$ và $\mathfrak{d}^{00}=\mathfrak{d}$.

(iv) Ánh xạ $\mathfrak{s}\mapsto \mathfrak{s}^0$ là một song ánh từ tập hợp các iđêan trái của A lên tập hợp các iđêan phải.

Khi các tính chất này đúng, ta nói rằng vành A là tự nội xạ (x. X, §1, p. 171, exercice 26).

a) Giả sử rằng A là tự nội xạ; cho M là một A-môđun sinh hữu hạn (trái hoặc phải). Chứng minh rằng các tính chất sau đúng:

(i’) A-môđun M là phản xạ.

(ii’) Độ dài của $M^*$ bằng độ dài của M.

(iii’) Với mọi môđun con N của M, ta có $N^{00}= N$.

(iv’) Ánh xạ $N\mapsto N^0$ là một song ánh từ tập hợp các môđun con của M lên tập hợp các môđun con của $M^*$.