Exercice 8, § 3

Soit A un anneau tel que les A-modules $A_s$ et $A_d$ soient de longueur finie. On identifie $A_d$ au dual de $A_s$. Pour tout idéal à gauche $\mathfrak{s}$ de A, l’orthogonal $\mathfrak{s}^0$ de $\mathfrak{s}$ est l’annulateur à droite de $\mathfrak{s}$ dans A ; de même, pour tout idéal à droite $\mathfrak{d}$, l’orthogonal $\mathfrak{d}^0$ est l’annulateur à gauche de $\mathfrak{d}$. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Tout A-module simple (à gauche ou à droite) est réflexif ;

(ii) Le dual de tout A-module simple (à gauche ou à droite) est simple ;

(iii) Pour tout idéal à gauche minimal $\mathfrak{s}$ et tout idéal à droite minimal $\mathfrak{d}$, on a $\mathfrak{s}^{00}=\mathfrak{s}$ et $\mathfrak{d}^{00}=\mathfrak{d}$;

(iv) L’application $\mathfrak{s}\rightarrow \mathfrak{s}^0$ est une bijection de l’ensemble des idéaux à gauche de A sur l’ensemble des idéaux à droite.

Lorsque ces propriétés sont satisfaites, on dit que l’anneau A est auto-injectif (cf. X, p. 171, exerc. 26).

b) On suppose que A est auto-injectif ; soit M un A-module (à gauche ou à droite) de type fini. Démontrer les propriétés suivantes :

(i’) Le A-module M est réflexif ;

(ii’) La longueur de $M^*$ est égale à celle de M ;

(iii’) Pour tout sous-module N de M, on a $N^{00}= N$;

(iv’) L’application $N\rightarrow N^0$ est une bijection de l’ensemble des sous-modules de M sur l’ensemble des sous-modules de $M^*$.