Bài tập 9, § 3

Độ đồng dài của một A-môđun đơn S là chiều của môđun đối của S (trên trường End$_A(S)$). Ta nói rằng một A-môđun M có độ dài hữu hạn có độ đồng dài hữu hạn nếu nó thừa nhận một chuỗi Jordan–Hölder mà các thương liên tiếp đều có độ đồng dài hữu hạn; tổng các độ đồng dài ấy được gọi là độ đồng dài của M và được ký hiệu bởi $\lambda (M)$. Nếu N là một môđun con của M, thì ta có $\lambda (M) =\lambda (N) +\lambda (M/N)$.

Cho A là một vành tự nội xạ (Bài tập 8) sao cho các môđun $A_s$ và $A_d$ có độ đồng dài hữu hạn. Ta nói rằng A là một vành Frobenius nếu với mọi A-môđun đơn S, ta có $\lambda (S) =\lambda (S^*)$.

a) Cho M là một A-môđun có độ dài hữu hạn. Nếu A là một vành Frobenius, thì ta có $\lambda (M) =\lambda (M^*)$. Hơn nữa, nếu A là một đại số hạng hữu hạn trên một trường giao hoán K, thì ta có dim$_K(M) =$ dim$_K(M^*)$ (dùng Bài tập 7).

b) Cho K là một trường giao hoán, và cho A là đại số con của $\mathbf{M}_6(K)$ có cơ sở gồm các phần tử $E_{11}+ E_{55}, E_{12}+ E_{56}, E_{21}+ E_{65}, E_{22}+ E_{66}, E_{33}+ E_{44}, E_{13}, E_{23}$, $E_{45}$, và $E_{46}$ (trong đó các $E_{ij}$ là các đơn vị ma trận của $\mathbf{M}_6(K)$). Chứng minh rằng A là một đại số tự nội xạ nhưng không phải là một đại số Frobenius (hãy nhận thấy rằng các iđêan trái cực tiểu của A là KE$_{13}+$ KE$_{23}$, KE$_{45}$, và KE$_{46}$, và các iđêan phải cực tiểu là KE$_{13}$, KE$_{23}$, và KE$_{45}+$ KE$_{46}$).