Exercice 9, § 3

On appelle colongueur d’un A-module simple S la dimension du contremodule de S (sur le corps End$_A(S)$). On dit qu’un A-module M de longueur finie est de colongueur finie s’il admet une suite de Jordan-Hölder dont les quotients successifs sont de colongueur finie ; la somme de ces colongueurs est appelée la colongueur de M, et notée $\lambda (M)$. Si N est un sous-module de M, on a $\lambda (M) =\lambda (N) +\lambda (M/N)$.

Soit A un anneau auto-injectif (exerc. 8), tel que les modules $A_s$ et $A_d$ soient de colongueur finie. On dit que A est un anneau frobeniusien si pour tout A-module simple S on a $\lambda (S) =\lambda (S^*)$.

a) Soit M un A-module de longueur finie. Si A est un anneau frobeniusien, on a $\lambda (M) =\lambda (M^*)$. Si en outre A est une algèbre de rang fini sur un corps commutatif K, on a dim$_K(M) =$ dim$_K(M^*)$ (utiliser l’exerc. 7).

b) Soit K un corps commutatif et soit A la sous-algèbre de $\mathbf{M}_6(K)$ ayant pour base les éléments $E_{11}+ E_{55}, E_{12}+ E_{56}, E_{21}+ E_{65}, E_{22}+ E_{66}, E_{33}+ E_{44}, E_{13}, E_{23}, E_{45}$ et $E_{46}$ $(E_{ij}$ désignant les unités matricielles de $\mathbf{M}_6(K))$. Démontrer que A est une algèbre auto-injective mais non frobeniusienne (remarquer que les idéaux à gauche minimaux de A sont KE$_{13}$+KE$_{23}$, KE$_{45}$ et KE$_{46}$, et les idéaux à droite minimaux KE$_{13}$, KE$_{23}$ et KE$_{45}$+KE$_{46}$).