Bài tập 6, § 4

Một môđun M được gọi là nửa Artin nếu mọi thương khác không của M chứa một môđun con đơn. Mọi môđun Artin và mọi không gian vectơ trên một trường đều là nửa Artin.

a) Cho $0\rightarrow M'\rightarrow M\rightarrow M''\rightarrow 0$ là một dãy khớp. Khi đó M là nửa Artin nếu và chỉ nếu điều đó cũng đúng đối với $M'$ và $M''$ (nếu M là nửa Artin, hãy xét một phần tử cực đại trong tập hợp các môđun con N của M sao cho $N\cap M'= 0$).

b) Tổng trực tiếp của một họ các môđun nửa Artin là một môđun nửa Artin. c) Cho K là một trường và A là vành tích $K^{\mathbf{N}}$. Chứng minh rằng A-môđun $A_s$ không là nửa Artin mặc dù nó là một tích của các A-môđun đơn (nếu $\mathfrak{s}$ là đế của $A_s$, hãy chứng minh rằng A-môđun $A_s/\mathfrak{s}$ không chứa bất kỳ môđun đơn nào).

d) Cho A là một vành Noether trái và M là một A-môđun nửa Artin. Chứng minh rằng M là tổng của các môđun con Artin của nó (gọi S là tổng của các môđun con Artin của M; hãy nhận thấy rằng nếu N là một môđun con sinh hữu hạn của M có ảnh đơn trong $M/S$, thì $N\cap S$ là Artin). Đặc biệt, nếu M sinh hữu hạn, thì nó là Artin. e) Cho D là một trường, V là một không gian vectơ vô hạn chiều trên D, và A là vành con của End$_D(V)$ sinh bởi tâm của D và các tự đồng cấu hạng hữu hạn. Chứng minh rằng $A_s$ là nửa Artin (dùng a) và b)) nhưng không là tổng của các môđun con Artin của nó.