Exercice 6, § 4

On dit qu’un module M est semi-artinien si tout quotient non nul de M contient un sous-module simple. Tout module artinien, tout espace vectoriel sur un corps sont semi-artiniens.

a) Soit $0\rightarrow M'\rightarrow M\rightarrow M''\rightarrow 0$ une suite exacte. Pour que M soit semi-artinien, il faut et il suffit qu’il en soit ainsi de $M'$ et $M''$ (si M est semi-artinien, considérer un élément maximal dans l’ensemble des sous-modules N de M tels que $N\cap M'= 0$).

b) La somme directe d’une famille de modules semi-artiniens est un module semi-artinien.

c) Soit K un corps, A l’anneau produit $K^{\mathbf{N}}$. Prouver que le A-module $A_s$ n’est pas semi-artinien, bien qu’il soit produit de A-modules simples (si $\mathfrak{s}$ est le socle de $A_s$, prouver que le A-module $A_s/\mathfrak{s}$ ne contient pas de module simple).

d) Soient A un anneau noethérien à gauche, M un A-module semi-artinien ; prouver que M est somme de ses sous-modules artiniens (soit S la somme des sous-modules artiniens de M ; si N est un sous-module de type fini de M dont l’image dans $M/S$ est simple, observer que $N\cap S$ est artinien). En particulier, si M est de type fini, il est artinien.

e) Soient D un corps, V un D-espace vectoriel de dimension infinie, A le sous-anneau de End$_D(V)$ engendré par le centre de D et les endomorphismes de rang fini. Prouver que $A_s$ est semi-artinien (utiliser a) et b)), mais n’est pas somme de ses sous-modules artiniens.