Bài tập 1, § 5

Cho M là một A-môđun và N là một môđun con hạng tử trực tiếp của M.

a) Chứng minh rằng N ổn định dưới đối giao hoán tử kép $A''_M$ của M.

b) Chứng minh rằng mọi ánh xạ A-tuyến tính từ N đến M đều là $A''_M$-tuyến tính.

c) Chứng minh rằng phép hạn chế lên N xác định một đồng cấu vành $A''_M\rightarrow A''_N$.

d) Giả sử rằng $M/N$ là một tổng của các môđun con đẳng cấu với các môđun thương của N. Chứng minh rằng đồng cấu chính tắc $A''_M\rightarrow A''_N$ là đơn ánh. Nếu N cân bằng, điều tương tự đúng cho M.