Exercice 1, § 5

Soient M un A-module, N un sous-module facteur direct de M.

a) Prouver que N est stable par le bicommutant $A''_M$ de M.

b) Démontrer que toute application A-linéaire de N dans M est $A''_M$-linéaire.

c) Prouver que la restriction à N définit un homomorphisme d’anneaux $A''_M\rightarrow A''_N$.

d) On suppose que $M/N$ est somme de sous-modules isomorphes à des quotients de N. Prouver que l’homomorphisme canonique $A''_M\rightarrow A''_N$ est injectif. Si N est équilibré, il en est de même de M.