Bài tập 16, § 5

Cho D là một trường, V là một không gian vectơ chiều $\geqslant 2$ trên D, và A là một vành con của End$_D(V)$.

a) Giả sử rằng với mọi hệ gồm bốn phần tử $(x, x', y, y')$, trong đó $x$ và $x'$ độc lập tuyến tính, tồn tại một phần tử $u$ của A sao cho $u(x) =y$ và $u(x') =y'$. Chứng minh rằng hoán tập của A-môđun V là D (đồng nhất với vành các phép vị tự của V) và vành các phép vị tự của môđun này là trù mật trong đối giao hoán tử kép của nó.

b) Cho một ví dụ về một vành $A\subset$ End$_D(V)$ sao cho V là một A-môđun đơn nhưng hoán tập của nó phân biệt với D (xét một trường E chứa D, một không gian vectơ V trên E, và vành A = End$_E(V)$).