Exercice 16, § 5

Soient D un corps, V un espace vectoriel de dimension $\geqslant 2$ sur D, A un sous-anneau de End$_D(V)$.

a) On suppose que pour tout système de 4 éléments $(x, x', y, y')$, où $x$ et $x'$ sont linéairement indépendants, il existe un élément $u$ de A tel que $u(x) =y,u(x') =y'$. Démontrer que le commutant du A-module V est D (identifié à l’anneau des homothéties de V), et que l’anneau des homothéties de ce module est dense dans son bicommutant.

b) Donner un exemple d’anneau $A\subset$ End$_D(V)$ tel que V soit un A-module simple, mais que son commutant soit distinct de D (considérer un corps E contenant D, un espace vectoriel V sur E et l’anneau A = End$_E(V)$).