Bài tập 18, § 5

Một nhóm G được gọi là hữu hạn địa phương nếu mọi nhóm con của G có một họ sinh hữu hạn đều là hữu hạn.

a) Cho G là một nhóm và H là một nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh rằng nếu H và $G/H$ là hữu hạn địa phương, thì G cũng vậy.

b) Suy ra từ a) rằng một nhóm giải được mà các phần tử đều có cấp hữu hạn thì là hữu hạn địa phương.

c) Cho K là một trường giao hoán, V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K, và G là một nhóm con của Aut(V) có một họ sinh hữu hạn gồm các phần tử có cấp hữu hạn. Chứng minh rằng cấp của các phần tử của G bị chặn.

(Rút gọn về trường hợp K là một mở rộng siêu việt thuần túy của một trường nguyên tố P bằng cách xét trường con K sinh bởi các hệ số của một họ sinh hữu hạn của G. Sau đó, chứng minh rằng với mọi phần tử $s$ của $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(K)$ có cấp hữu hạn, ta có $\varphi (s)\leqslant n$ nếu $P =\mathbf{Q}$ và $s\leqslant p^n-1$ nếu $P =\mathbf{F}_p.$) d) Chứng minh rằng mọi nhóm con H của Aut(V) mà các phần tử đều có cấp hữu hạn đều là hữu hạn địa phương.[^1]

(Rút gọn về trường hợp K là đóng đại số, và dùng quy nạp theo dim(V). Cho G là một nhóm con của H có một họ sinh hữu hạn. Nếu V là một K[G]-môđun đơn, áp dụng Bài tập 17; nếu V chứa một không gian con không tầm thường W ổn định dưới G, xét ảnh của G trong Aut(V) $\times$ Aut(V$/W$), và áp dụng a) và b)).

[^1]: Với mọi số nguyên lẻ $n\geqslant 665$, tồn tại một nhóm trong đó cấp của mọi phần tử đều chia hết cho $n$ nhưng nhóm đó không hữu hạn địa phương; xem S. I. Adian, Bài toán Burnside và các đồng nhất thức trong các nhóm, Ergebnisse der Math. 95, Springer-Verlag (1979). Một kết quả tương tự đúng khi $n\geqslant 2^{48}$ và $2^9$ chia hết $n$ (xem S. V. Ivanov, Về bài toán Burnside đối với các nhóm có số mũ chẵn, Kỷ yếu Đại hội Toán học Quốc tế, Tập II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 67–75).