Exercice 18, § 5

On dit qu’un groupe G est localement fini si tout sous-groupe de G admettant une famille génératrice finie est fini.

a) Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G. Si H et $G/H$ sont localement finis, prouver qu’il en est de même de G.

b) Déduire de a) qu’un groupe résoluble dont tout élément est d’ordre fini est localement fini.

c) Soient K un corps commutatif, V un espace vectoriel de dimension finie sur K, G un sous-groupe de Aut(V) admettant une famille génératrice finie et formé d’éléments d’ordre fini. Prouver que l’ordre des éléments de G est borné.

(Se ramener au cas où K est une extension transcendante pure d’un corps premier P, en considérant le sous-corps de K engendré par les coefficients d’une famille génératrice finie de G. Prouver alors que pour tout élément d’ordre $s$ fini de $\mathbf{G}\mathbf{L}_n$(K), on a $\varphi (s)\leqslant n$ si $P =\mathbf{Q}$, et $s\leqslant p^n-1$ si $P =\mathbf{F}_p.$)

d) Prouver que tout sous-groupe H de Aut(V) dont tout élément est d’ordre fini est localement fini[^1].

(Se ramener au cas où K est algébriquement clos et raisonner par récurrence sur dim(V). Soit G un sous-groupe de H admettant une famille génératrice finie. Si V est un K[G]-module simple, appliquer l’exerc. 17; si V contient un sous-espace W non trivial stable par G, considérer l’image de G dans Aut(V) $\times$ Aut(V$/W$), et appliquer a) et b)).

[^1]: Pour tout entier $n$ impair $\geqslant 665$, il existe un groupe dans lequel l’ordre de tout élément divise $n$, mais qui n’est pas localement fini ; cf. S. I. Adian, The Burnside problem and identities in groups, Ergebnisse der Math. 95, Springer-Verlag (1979). Un résultat analogue vaut lorsque $n\geqslant 2^{48}$ et $2^9$ divise $n($cf. S. V. Ivanov, On the Burnside problem for groups of even exponent, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 67–75).