Bài tập 2, § 5

Cho K là một trường giao hoán và A là vành con của $\mathbf{M}_3(K)$ gồm các ma trận có dạng

$a$ 0 0

$bc$ 0

0 0 $a$

với $a, b, c$ trong K. Cho M là A-môđun $K^3$; nó là tổng trực tiếp của các môđun con $N = Ke_1+ Ke_2$ và $P = Ke_3$.

a) Chứng minh rằng M là cân bằng, rằng ánh xạ chính tắc $A''_M\rightarrow A''_N$ (Bài tập 1) là đơn ánh nhưng không toàn ánh, và rằng ánh xạ chính tắc $A''_M\rightarrow A''_P$ là toàn ánh nhưng không đơn ánh.

b) Suy ra một ví dụ về một môđun Q trên một vành B và một môđun con hạng tử trực tiếp R sao cho ánh xạ chính tắc $B''_Q\rightarrow B''_R$ không đơn ánh cũng không toàn ánh (lấy $B = A\times A$ và $Q = M\times M$).