Exercice 2, § 5

Soient K un corps commutatif, et A le sous-anneau de $\mathbf{M}_3(K)$ formé des matrices de la forme

$a$ 0 0

$bc$ 0

0 0 $a$

pour $a, b, c$ dans K. Soit M le A-module $K^3$; il est somme directe des sous-modules N = $Ke_1+ Ke_2$ et $P = Ke_3$.

a) Prouver que M est équilibré, que l’application canonique $A''_M\rightarrow A''_N$ (exerc. 1) est injective mais non surjective, et que l’application canonique $A''_M\rightarrow A''_P$ est surjective mais non injective.

b) En déduire un exemple d’un module Q sur un anneau B et d’un sous-module facteur direct R tel que l’application canonique $B''_Q\rightarrow B''_R$ ne soit ni injective ni surjective (prendre $B = A\times A$ et $Q = M\times M$).