Bài tập 3, § 6

Cho A là một vành và G là một nhóm Abel được viết theo phép cộng. Một ánh xạ $T : A\rightarrow G$ được gọi là có tính chất vết nếu nó là một đồng cấu của các nhóm cộng tính và ta có $T(ab) = T(ba)$ với mọi $a, b$ trong A.

a) Cho $T : A\rightarrow G$ là một ánh xạ có tính chất vết, và cho P là một A-môđun phải vừa xạ ảnh vừa sinh hữu hạn. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ có tính chất vết duy nhất $T_P:$ End$_A(P\oplus A_d)\rightarrow G$ có hạn chế lên A = End$_A(A_d)$ là T.

b) Cho A và B là các vành tương đương Morita và G là một nhóm Abel. Xây dựng một sự tương ứng song ánh giữa các ánh xạ có tính chất vết từ A đến G và các ánh xạ có tính chất vết từ B đến G.