Bài tập 6, § 6

Cho A và B là các vành. Giả sử cho

– một B-môđun F(M) với mỗi A-môđun M và

– một đồng cấu B-tuyến tính $F(u) : F(M)\rightarrow F(N)$ với mỗi đồng cấu của các A-môđun $u: M\rightarrow N$,

sao cho các tính chất sau đúng:

(i) Ta có $F(1_M) = 1_{F(M)}$ với mỗi A-môđun M.

(ii) Với $u\in$ Hom$_A(M,N)$ và $v\in$ Hom$_A(N,P)$, ta có $F(v\circ u) = F(v)\circ F(u)$.

(iii) Với $u, v\in$ Hom$_A(M,N)$, ta có $F(u+v) = F(u) + F(v)$.

(a) Chứng minh rằng với mỗi A-môđun M, ánh xạ $u\mapsto F(u)$ từ End$_A(M)$ vào End$_B(F(M))$ là một đồng cấu vành. Suy ra một cấu trúc song môđun $(B$, A)- trên $F(A_s)$ từ điều này.

(b) Cho M là một A-môđun; với $m\in M$, ký hiệu $h_m: A_s\rightarrow M$ là đồng cấu $a\mapsto am$. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu B-tuyến tính duy nhất $\theta_M$ từ $F(A_s)\otimes_AM$ vào F(M) sao cho $\theta_M(x\otimes m) = F(h_m)(x)$ với mọi $x\in F(A_s)$ và $m\in M$. Ta có $F(u)\circ \theta_M=\theta_N\circ (1_{F(A_s)}\otimes u)$ với mọi đồng cấu của các A-môđun $u: M\rightarrow N$.