Exercice 6, § 6

Soient A et B des anneaux. On suppose donnés :

– pour tout A-module M, un B-module F(M) ;

– pour tout homomorphisme de A-modules $u: M\rightarrow N$, un homomorphisme B-linéaire $F(u) : F(M)\rightarrow F(N)$,

de façon à ce que les propriétés suivantes soient satisfaites :

(i) On a $F(1_M) = 1_{F(M)}$ pour tout A-module M ;

(ii) Si $u\in$ Hom$_A(M,N)$ et $v\in$ Hom$_A(N,P)$, on a $F(v\circ u) = F(v)\circ F(u)$;

(iii) Si $u, v$ appartiennent à Hom$_A(M,N)$, on a $F(u+v) = F(u) + F(v)$.

a) Démontrer que pour tout A-module M, l’application $u\rightarrow F(u)$ de End$_A(M)$ dans End$_B(F(M))$ est un homomorphisme d’anneaux. En déduire une structure de $(B,A)$-bimodule sur $F(A_s)$.

b) Soit M un A-module ; pour $m\in M$, on note $h_m: A_s\rightarrow M$ l’homomorphisme $a\rightarrow am$. Prouver qu’il existe un unique homomorphisme B-linéaire $\theta_M$ de $F(A_s)\otimes_AM$ dans F(M) tel que $\theta_M(x\otimes m) = F(h_m)(x)$ quels que soient $x\in F(A_s),m\in M$. Pour tout homomorphisme de A-modules $u: M\rightarrow N$, on a $F(u)\circ \theta_M=\theta_N\circ (1_{F(A_s)}\otimes u)$.