Bài tập 8, § 6

Cho $k$ là một vành giao hoán và A là một $k$-đại số.

a) Chứng minh rằng tập hợp các lớp đẳng cấu của các $(A,A)_k$-bimôđun khả nghịch (No. 8), được trang bị với luật nhân $[P][Q] = [P\otimes_AQ]$, là một nhóm; ta ký hiệu nó bởi $\mathscr{P}_k(A)$.

b) Cho G là nhóm tự đẳng cấu của đại số $k$-A; với $g\in G$, ta ký hiệu bởi $A_g$ A-môđun trái $A_s$ được trang bị cấu trúc A-môđun phải xác định bởi $x\cdot a=x g(a)$. Chứng minh rằng ánh xạ $g\mapsto [A_g]$ là một đồng cấu nhóm từ G đến $\mathscr{P}_k$(A), với hạt nhân là nhóm con các tự đẳng cấu nội.

c) Cho Z là tâm của A; định nghĩa một dãy khớp

Nếu đại số A là giao hoán, nhóm $\mathscr{P}_k(A)$ là tích nửa trực tiếp của G và $\mathscr{P}_A(A)$.