Exercice 8, § 6

Soient $k$ un anneau commutatif, A une $k$-algèbre.

a) Prouver que l’ensemble des classes d’isomorphisme de $(A,A)_k$-bimodules inversibles (n$^o8$), muni de la loi de multiplication $[P][Q] = [P\otimes_AQ]$, est un groupe ; on le note $\mathscr{P}_k(A)$.

b) Soit G le groupe des automorphismes de la $k$-algèbre A ; pour $g\in G$, on note $A_g$ le A-module à gauche $A_s$ muni de la structure de A-module à droite définie par $x.a=x g(a)$. Montrer que l’application $g\rightarrow [A_g]$ est un homomorphisme de groupes de G dans $\mathscr{P}_k$(A), dont le noyau est le sous-groupe des automorphismes intérieurs.

c) Soit Z le centre de A ; définir une suite exacte

Si l’algèbre A est commutative, le groupe $\mathscr{P}_k(A)$ est produit semi-direct de G par $\mathscr{P}_A(A)$.