Bài tập 1, § 7

Cho D là một trường, V là một không gian vectơ phải trên D, và A là vành End$_D(V)$. Với mọi không gian con tuyến tính W của V, ta ký hiệu tập hợp các phần tử $a$ của A thỏa mãn $aW = 0$ (resp. $aV\subset W$) bởi $\mathfrak{a}(W)$ (resp. $\mathfrak{b}(W)$).

a) Chứng minh rằng ánh xạ $W\mapsto \mathfrak{a}(W)$ (resp. $W\mapsto \mathfrak{b}(W)$) là một song ánh giảm (resp. tăng) từ tập các không gian con tuyến tính của V sang tập các iđêan trái (resp. phải) của A được sinh bởi một lũy đẳng.

b) Các iđêan trái cực tiểu của A là các iđêan $\mathfrak{a}$(H), trong đó H là một siêu phẳng trong V. Các iđêan phải cực tiểu là các iđêan $\mathfrak{b}$(D), trong đó D là một đường thẳng trong V. Suy ra dạng của các iđêan trái (resp. phải) của A có độ dài hữu hạn.

c) Cho W và $W'$ là hai không gian con của V sao cho $W\not= 0$ và $W'\not= V$. Chứng minh rằng giao $\mathfrak{a}(W)\cap \mathfrak{b}(W')$ không giảm xuống 0.

d) Ánh xạ $u\mapsto^tu$ xác định một đẳng cấu vành từ A đến một vành con B của End$_{D^o}(V^*)$. Hãy chứng minh rằng ảnh của $\mathfrak{a}(W)$ (resp. $\mathfrak{b}(W)$) qua đẳng cấu này là vết trên B của iđêan $\mathfrak{b}(W^o)$ (resp. $\mathfrak{a}(W^o)$), trong đó $W^o$ chỉ phần trực giao của W trong $V^*$.

e) Cho $\mathfrak{F}$ là tập các không gian con tuyến tính của V. Với mọi iđêan trái $\mathfrak{a}$ của A, ký hiệu $\mathfrak{F}(\mathfrak{a})$ là tập con của $\mathfrak{F}$ gồm các không gian con Ker $u$ với $u$ chạy qua $\mathfrak{a}$. Tập $\mathfrak{F}(\mathfrak{a})$ ổn định dưới giao, và mọi không gian con tuyến tính của V chứa một phần tử của $\mathfrak{F}(\mathfrak{a})$ đều thuộc $\mathfrak{F}(\mathfrak{a})$. Hãy chứng minh rằng ánh xạ $\mathfrak{a}\mapsto \mathfrak{F}(\mathfrak{a})$ là một song ánh từ tập các iđêan trái của A lên tập các tập con của $\mathfrak{F}$ có hai tính chất này. f ) Giả sử chiều của V là vô hạn, và ký hiệu nó bởi $\mathfrak{c}$. Cho $\mathfrak{m}$ là một iđêan trái cực đại của A không có dạng $\mathfrak{a}(D)$. Hãy chứng minh rằng giao của các không gian con $W\in \mathfrak{F}(\mathfrak{m})$ thu gọn lại thành 0, rằng mỗi không gian con này đều vô hạn chiều, và rằng tồn tại những không gian con như vậy có đồng chiều $\mathfrak{c}$.