Exercice 1, § 7

Soient D un corps, V un espace vectoriel à droite sur D et A l’anneau End$_D(V)$. Pour tout sous-espace vectoriel W de V, on note $\mathfrak{a}(W)$ (resp. $\mathfrak{b}(W)$) l’ensemble des éléments $a$ de A satisfaisant à $aW = 0$ (resp. $aV\subset W$).

a) Prouver que l’application $W\rightarrow \mathfrak{a}(W)$ (resp. $W\rightarrow \mathfrak{b}(W)$) est une bijection décroissante (resp. croissante) de l’ensemble des sous-espaces vectoriels de V sur l’ensemble des idéaux à gauche (resp. à droite) de A engendrés par un élément idempotent.

b) Les idéaux à gauche minimaux de A sont les idéaux $\mathfrak{a}$(H), où H est un hyperplan de V ; les idéaux à droite minimaux sont les idéaux $\mathfrak{b}$(D), où D est une droite de V. En déduire la forme des idéaux à gauche (resp. à droite) de longueur finie de A.

c) Soient $W, W'$ deux sous-espaces de V tels que $W\not= 0$ et $W'\not= V$. Démontrer que l’intersection $\mathfrak{a}(W)\cap \mathfrak{b}(W')$ n’est pas réduite à 0.

d) L’application $u\rightarrow^tu$ définit un isomorphisme de l’anneau A sur un sous-anneau B de End$_{D^o}(V^*)$. Montrer que l’image de $\mathfrak{a}(W)$ (resp. $\mathfrak{b}(W)$) par cet isomorphisme est la trace sur B de l’idéal $\mathfrak{b}(W^o)$ (resp. $\mathfrak{a}(W^o)$), où $W^o$ désigne l’orthogonal de W dans $V^*$.

e) Soit $\mathfrak{F}$ l’ensemble des sous-espaces vectoriels de V. Pour tout idéal à gauche $\mathfrak{a}$ de A, on note $\mathfrak{F}(\mathfrak{a})$ le sous-ensemble de $\mathfrak{F}$ formé des sous-espaces Ker$u$ où $u$ parcourt $\mathfrak{a}$. L’ensemble $\mathfrak{F}(\mathfrak{a})$ est stable par intersection, et tout sous-espace vectoriel de V contenant un élément de $\mathfrak{F}(\mathfrak{a})$ appartient à $\mathfrak{F}(\mathfrak{a})$; prouver que l’application $\mathfrak{a}\rightarrow \mathfrak{F}(\mathfrak{a})$ est une bijection de l’ensemble des idéaux à gauche de A sur l’ensemble des parties de $\mathfrak{F}$ satisfaisant à ces deux propriétés.

f ) On suppose que la dimension de V est infinie, et on la note $\mathfrak{c}$. Soit $\mathfrak{m}$ un idéal à gauche maximal de A qui n’est pas de la forme $\mathfrak{a}(D)$. Prouver que l’intersection des sous-espaces $W\in \mathfrak{F}(\mathfrak{m})$ est réduite à 0, que chacun de ces sous-espaces est de dimension infinie, et qu’il en existe de codimension $\mathfrak{c}$.