Bài tập 11, § 7

Cho K là một trường giao hoán và V là một không gian vectơ trên K thừa nhận một cơ sở $(e_n)_{n\geqslant 1}$. Cho $u$ và $v$ là các nội đồng cấu của V được xác định bởi $u(e_1) = 0,u(e_p) =e_{p-1}$ với $p >1$, và $v(e_p) =e_{p+1}$ với $p\geqslant 1$, và cho A là đại số con trên K của End$_K(V)$ sinh bởi $1,u$, và $v$. Ta có $uv= 1_V$ và $vu\not= 1_V$.

a) Chứng minh rằng các phần tử $v^iu^j(i\geqslant 0, j\geqslant 0)$ lập thành một cơ sở của A trên K.

b) Chứng minh rằng vành A là nguyên thủy và đế của nó $\mathfrak{s}$ là tập hợp các tự đồng cấu $w$ của V sao cho dãy $(w(e_p))_{p\geqslant 1}$ có giá hữu hạn (hãy lưu ý rằng $\mathfrak{s}$ là iđêan hai phía nhỏ nhất của A chứa $1_V-vu$). Chứng minh rằng đại số trên K $A/\mathfrak{s}$ đẳng cấu với $K[X,X^{-1}]$.