Exercice 11, § 7

Soient K un corps commutatif, V un espace vectoriel sur K admettant une base $(e_n)_{n\geqslant 1}$. Soient $u, v$ les endomorphismes de V définis par $u(e_1) = 0,u(e_p) =e_{p-1}$ pour $p >1$, $v(e_p) =e_{p+1}$ pour $p\geqslant 1$, et soit A la sous-K-algèbre de End$_K(V)$ engendrée par $1,u$ et $v$. On a $uv= 1_V$ et $vu\not= 1_V$.

a) Prouver que les éléments $v^iu^j(i\geqslant 0, j\geqslant 0)$ forment une base de A sur K.

b) Démontrer que l’anneau A est primitif et que son socle $\mathfrak{s}$ est l’ensemble des endomorphismes $w$ de V tels que la suite $(w(e_p))_{p\geqslant 1}$ soit à support fini (on pourra observer que $\mathfrak{s}$ est le plus petit idéal bilatère de A contenant $1_V-vu$). Démontrer que la K-algèbre $A/\mathfrak{s}$ est isomorphe à $K[X,X^{-1}]$.