Bài tập 14, § 7

Cho K là một trường giao hoán. Cho M là môđun tự do sinh bởi hai phần tử $x$ và $y$, và cho A là đại số của môđun M trên K. Cho V là một không gian vectơ trên K nhận một cơ sở $(e_n)_{n\geqslant 1}$.

a) Ta định nghĩa cấu trúc của một A-môđun trên V bằng cách đặt $xe_1= 0,xe_p=e_{p-1}$ với $p >1$, và $ye_p=e_{2^p}$ với $p\geqslant 1$. Chứng minh rằng V là một A-môđun đơn.

b) Chứng minh rằng A-môđun V là trung thành. (Cho $z\in M$. Với $n\in \mathbf{N}$, ký hiệu số nguyên $s$ sao cho $e_s=ze_n$ là $P_z(n)$. Nhận xét rằng ta có $P_{zt}= P_z\circ P_t$ với $z, t$ thuộc M. Suy ra bằng quy nạp theo độ dài của $z$ và $t$ rằng nếu $z\not=t$, tập hợp các số nguyên $n$ sao cho $P_z(n) = P_t(n)$ là hữu hạn.) c) Tương tự, với mọi số nguyên $r >2$, chứng minh rằng bằng cách đặt $xe_1= 0,xe_p=e_{p-1}$ với $p >1$, và $ye_p=e_{r^p}$ với $p\geqslant 1$, ta định nghĩa cấu trúc của một A-môđun đơn và trung thành trên V. Chứng minh rằng các cấu trúc này đôi một không đẳng cấu.