Exercice 14, § 7

Soit K un corps commutatif. Soit M le monoïde libre engendré par deux éléments $x, y$ et soit A l’algèbre du monoïde M sur K. Soit V un espace vectoriel sur K, admettant une base $(e_n)_{n\geqslant 1}$.

a) On définit une structure de A-module sur V en posant $xe_1= 0,xe_p=e_{p-1}$ pour $p >1,ye_p=e_{2^p}$ pour $p\geqslant 1$. Démontrer que V est un A-module simple.

b) Prouver que le A-module V est fidèle (soit $z\in M$; pour $n\in \mathbf{N}$, notons $P_z(n)$ l’entier $s$ tel que $e_s=ze_n$. Observer qu’on a $P_{zt}= P_z\circ P_t$ pour $z, t$ dans M ; en déduire par récurrence sur la longueur de $z$ et $t$ que si $z\not=t$, l’ensemble des entiers $n$ tels que $P_z(n) = P_t(n)$ est fini).

c) Pour tout entier $r >2$, démontrer de même qu’on définit une structure de A-module simple et fidèle sur V en posant $xe_1= 0,xe_p=e_{p-1}$ pour $p >1,ye_p=e_{r^p}$ pour $p\geqslant 1$. Démontrer que ces structures sont deux à deux non isomorphes.