Bài tập 4, § 7

Cho A là một vành nguyên thủy.

a) Nếu vành A là giao hoán (resp. Artin trái), thì nó là một trường (resp. một vành đơn).

b) Cho $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ là các iđêan trái khác không của A. Chứng minh rằng iđêan $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ khác không.[^1] Suy ra rằng giao của hữu hạn iđêan hai phía khác không của A không thu về 0.

c) Chứng minh rằng nếu với mọi $a\in A$, phần tử $1 +a^2$ là khả nghịch trong A, thì A là một trường (dùng Bài tập 3, b)).

[^1]: Trong bài tập này và bài tiếp theo, nếu $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ là các iđêan trái của A, ta ký hiệu bởi $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ iđêan trái sinh bởi các tích $ab$ với $a\in \mathfrak{a}$ và $b\in \mathfrak{b}$.