Exercice 4, § 7

Soit A un anneau primitif.

a) Si l’anneau A est commutatif (resp. artinien à gauche), c’est un corps (resp. un anneau simple).

b) Soient $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ des idéaux à gauche non nuls de A ; démontrer que l’idéal $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ n’est pas nul[^1]. En déduire que l’intersection d’un nombre fini d’idéaux bilatères non nuls de A n’est pas réduite à 0.

c) Démontrer que si l’élément $1 +a^2$ est inversible dans A pour tout $a\in A, A$ est un corps (utiliser l’exerc. 3 b)).

[^1]: Dans cet exercice et les suivants, si $\mathfrak{a}$ et $\mathfrak{b}$ sont des idéaux à gauche de A, on note $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ l’idéal à gauche engendré par les produits $ab$ pour $a\in \mathfrak{a},b\in \mathfrak{b}$.