Bài tập 7, § 7

Cho A là một vành.

a) Cho $\mathfrak{a}$ là một iđêan trái tối tiểu của A. Chứng minh rằng ta có $\mathfrak{a}^2= 0$ hoặc $\mathfrak{a}^2=\mathfrak{a}$. Trong trường hợp sau, hãy chỉ ra rằng tồn tại một phần tử lũy đẳng $e$ trong $\mathfrak{a}$ sao cho $\mathfrak{a}= Ae$ (nếu $a\in A$ sao cho $\mathfrak{a}a=\mathfrak{a}$, hãy xét tự đẳng cấu $x\mapsto xa$ của $\mathfrak{a}$).

b) Cho $e$ là một phần tử lũy đẳng của A. Iđêan $Ae$ là tối tiểu khi và chỉ khi vành $eAe$ là một trường.

c) Cho $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ là hai iđêan trái đẳng cấu của A. Chứng minh rằng ta có $\mathfrak{a}\mathfrak{b}=\mathfrak{b}$ nếu $\mathfrak{a}^2=\mathfrak{a}$, và $\mathfrak{a}\mathfrak{b}= 0$ nếu $\mathfrak{a}^2= 0$.