Exercice 7, § 7

Soit A un anneau.

a) Soit $\mathfrak{a}$ un idéal à gauche minimal de A. Démontrer que l’on a $\mathfrak{a}^2= 0$ ou $\mathfrak{a}^2=\mathfrak{a}$. Dans le second cas, montrer qu’il existe un élément idempotent $e$ de $\mathfrak{a}$ tel que $\mathfrak{a}= Ae$ (si $a\in A$ est tel que $\mathfrak{a}a=\mathfrak{a}$, considérer l’automorphisme $x\rightarrow xa$ de $\mathfrak{a}$).

b) Soit $e$ un élément idempotent de A. Pour que l’idéal $Ae$ soit minimal, il faut et il suffit que l’anneau $eAe$ soit un corps.

c) Soient $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ deux idéaux à gauche isomorphes de A. Démontrer qu’on a $\mathfrak{a}\mathfrak{b}=\mathfrak{b}$ si $\mathfrak{a}^2=\mathfrak{a}$, et $\mathfrak{a}\mathfrak{b}= 0$ si $\mathfrak{a}^2= 0$.