Bài tập 8, § 7

Cho A là một vành. Đế trái (hay đơn giản là đế)$\mathfrak{s}$ của A là đế của A-môđun $A_s$, tức là (VIII, p. 65), tổng của các iđêan trái cực tiểu của A. Nó là một A-môđun nửa đơn, và các thành phần đẳng kiểu của nó được gọi là các chân của nó. Cho $\mathfrak{a}$ là một chân của $\mathfrak{s}$.

a) Chứng minh rằng $\mathfrak{a}$ là một iđêan hai phía và tổng của các iđêan cực tiểu có bình phương bằng không (Bài tập 7) được chứa trong $\mathfrak{a}$ là một iđêan hai phía, cụ thể là giao của $\mathfrak{a}$ và linh hóa tử của nó.

b) Giả sử rằng $\mathfrak{a}$ chứa một iđêan cực tiểu có bình phương khác không. Chứng minh rằng không có phần tử khác không nào $x$ của $\mathfrak{a}$ sao cho $\mathfrak{a}x= 0$ (dùng Bài tập 7, c)).

c) Dưới giả thiết của b), chứng minh rằng mọi iđêan trái của giả vành $\mathfrak{a}$ (I, §8, No. 1, p. 98) đều là một iđêan của A (hãy nhận thấy rằng các iđêan cực tiểu của $\mathfrak{a}$ là các iđêan cực tiểu của A được chứa trong $\mathfrak{a}$).

d) Giả sử rằng đế $\mathfrak{s}$ của A không chứa bất kỳ iđêan trái cực tiểu nào có bình phương bằng không. Chứng minh rằng mọi iđêan trái $\mathfrak{b}$ của A có độ dài hữu hạn như một A-môđun đều được chứa trong $\mathfrak{s}$ (dùng quy nạp theo độ dài của $\mathfrak{b}$ bằng cách nhận thấy rằng nếu $e$ là một phần tử lũy đẳng trong $\mathfrak{b}$, thì $\mathfrak{b}e$ là một nhân tử trực tiếp của $\mathfrak{b}$).