Exercice 8, § 7

Soit A un anneau. On appelle socle gauche (ou simplement socle) $\mathfrak{s}$ de A le socle du A-module $A_s$, c’est-à-dire (VIII, p. 61) la somme des idéaux à gauche minimaux de A. C’est un A-module semi-simple, dont les composants isotypiques sont appelés les pieds. Soit $\mathfrak{a}$ un pied de $\mathfrak{s}$.

a) Démontrer que $\mathfrak{a}$ est un idéal bilatère et que la somme des idéaux minimaux de carré nul (exerc. 7) contenus dans $\mathfrak{a}$ est un idéal bilatère, intersection de $\mathfrak{a}$ et de son annulateur.

b) On suppose que $\mathfrak{a}$ contient un idéal minimal de carré $\not= 0$. Prouver qu’il n’existe pas d’élément non nul $x$ de $\mathfrak{a}$ tel que $\mathfrak{a}x= 0$ (utiliser l’exerc. 7 c)).

c) Sous l’hypothèse de b), démontrer que tout idéal à gauche du pseudo-anneau $\mathfrak{a}$ est un idéal de A (remarquer que les idéaux minimaux de $\mathfrak{a}$ sont les idéaux minimaux de A contenus dans $\mathfrak{a}$).

d) On suppose que le socle $\mathfrak{s}$ de A ne contient pas d’idéal à gauche minimal de carré nul. Démontrer que tout idéal à gauche $\mathfrak{b}$ de A qui est de longueur finie en tant que A-module est contenu dans $\mathfrak{s}$ (raisonner par récurrence sur la longueur de $\mathfrak{b}$, en remarquant que si $e$ est un élément idempotent de $\mathfrak{b},\mathfrak{b}e$ est facteur direct dans $\mathfrak{b}$).