Bài tập 9, § 7

Cho D là một trường, V là một không gian vectơ phải trên D, và A là một vành con trù mật của vành End$_D(V)$ (Bài tập 3).

a) Vành con A chứa một tự đồng cấu khác không có hạng hữu hạn nếu và chỉ nếu đế $\mathfrak{s}$ của A là khác không (dùng Bài tập 4, a) và 7, b) để chứng minh rằng một ideal tối tiểu của A là sinh bởi một lũy đẳng rồi rằng lũy đẳng này có hạng 1). Khi đó đế của A có một chân duy nhất (Bài tập 4, a)).

b) Từ nay trở đi, giả sử $\mathfrak{s}\not= 0$. Cho $\mathfrak{a}$ là một iđêan trái tối tiểu của A. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $\ell$ của đối ngẫu $V^*$ của V sao cho $\mathfrak{a}$ gồm các tự đồng cấu $z\mapsto v \ell (z)$ với $v\in V$. Gọi $V'$ là tập hợp các dạng tuyến tính $\ell \in V^*$ sao cho tự đồng cấu $z\mapsto v \ell (z)$ thuộc A với mọi $v\in V$. Chứng minh rằng $V'$ là một $(D,A)$-môđun con song của $V^*$ và rằng $\mathfrak{s}$ là tập hợp các tự đồng cấu của V có hạng hữu hạn mà hạt nhân có thể viết thành Ker $\ell_1\cap \cdots \cap$ Ker$\ell_n$ với $\ell_1, . . . , \ell_n$ thuộc $V'$. Ta chỉ có thể có $\mathfrak{s}= A$ nếu không gian vectơ V là hữu hạn chiều và A = End$_D(V)$.

c) Cho $\mathfrak{b}$ là một iđêan phải tối tiểu của A. Chứng minh rằng tồn tại một vectơ $v\in V$ sao cho $\mathfrak{b}$ gồm các tự đồng cấu $z\mapsto v \ell (z)$ với $\ell \in V'$. Suy ra rằng đế phải của A bằng đế trái của nó $\mathfrak{s}$.

d) Chứng minh rằng hơn nữa $\mathfrak{s}$ là iđêan hai phía khác không nhỏ nhất của A.

e) Từ b) suy ra rằng một vành nguyên thủy Noether (trái hoặc phải) có đế khác không thì đơn (hãy chứng minh rằng V tất yếu hữu hạn chiều bằng cách xét các iđêan được chứa trong $\mathfrak{s}$).

f ) Cho M là một không gian con hữu hạn chiều của V. Chứng minh rằng $\mathfrak{s}$ chứa một phép chiếu $e_M$ của V có ảnh là M. (Cho $N'\subset V'$ là một không gian con bù của trực giao của M. Chứng minh rằng tồn tại các cơ sở $(v_j)_{1\leqslant j\leqslant k}$ của M và $(\ell_i)_{1\leqslant i\leqslant k}$ của $N'$ sao cho $\ell_i(v_j) =\delta_{ij}$, và xét tự đồng cấu $x\mapsto \sum_iv_i\ell_i(x).$) Đặt N là hạt nhân của $e_M$. Chứng minh rằng mọi tự đồng cấu $u$ của V sao cho $u(M)\subset M$ và $u(N) = 0$ đều thuộc $\mathfrak{s}$.

g) Cho J là một tập con hữu hạn của A. Chứng minh rằng tồn tại một phân tích $V = M\oplus N$, trong đó M là một không gian con hữu hạn chiều và N là phần trực giao của một tập con hữu hạn của $V'$, sao cho vành các nội cấu $u$ của V thỏa mãn $u(M)\subset M$ và $u(N) = 0$ được chứa trong A và chứa J. (Lấy $M_1=\sum_{u\in J}$ Im$u$ và $N_1=\cap_{u\in J}$ Ker $u$, áp dụng f) cho một không gian con M chứa $M_1$ và sao cho $M + N_1= V$, rồi sau đó lấy N được chứa trong $N_1.)$