Exercice 9, § 7

Soient D un corps, V un espace vectoriel à droite sur D, A un sous-anneau dense de l’anneau End$_D(V)$ (exerc. 3).

a) Pour que A contienne un endomorphisme non nul de rang fini, il faut et il suffit que le socle $\mathfrak{s}$ de A ne soit pas nul (démontrer à l’aide des exerc. 4 a) et 7 b) qu’un idéal minimal de A est engendré par un élément idempotent, puis que celui-ci est de rang un). Le socle de A a alors un seul pied (exerc. 4 a)).

b) On suppose désormais $\mathfrak{s}\not= 0$. Soit $\mathfrak{a}$ un idéal à gauche minimal de A. Démontrer qu’il existe un élément $\ell$ du dual $V^*$ de V tel que $\mathfrak{a}$ soit formé des endomorphismes $z\rightarrow$ $v \ell (z)$ pour $v\in V$. Soit $V'$ l’ensemble des formes linéaires $\ell \in V^*$ telles que l’endomorphisme $z\rightarrow v \ell (z)$ appartienne à A pour tout $v\in V$; prouver que $V'$ est un sous-(D,A)-bimodule de $V^*$ et que $\mathfrak{s}$ est l’ensemble des endomorphismes de rang fini de V dont le noyau peut s’écrire Ker$\ell_1\cap \cdots \cap$Ker $\ell_n$, avec $\ell_1, . . . , \ell_n$ dans $V'$. On ne peut avoir $\mathfrak{s}= A$ que si l’espace vectoriel V est de dimension finie et A = End$_D(V)$.

c) Soit $\mathfrak{b}$ un idéal à droite minimal de A ; démontrer qu’il existe un vecteur $v\in V$ tel que $\mathfrak{b}$ soit formé des endomorphismes $z\rightarrow v \ell (z)$ pour $\ell \in V'$. En déduire que le socle droit de A est égal à son socle gauche $\mathfrak{s}$.

d) Démontrer que $\mathfrak{s}$ est le plus petit idéal bilatère non nul de A.

e) Déduire de b) qu’un anneau primitif noethérien (à gauche ou à droite) dont le socle n’est pas nul est simple (démontrer que V est nécessairement de dimension finie, en considérant les idéaux contenus dans $\mathfrak{s}$).

f ) Soit M un sous-espace de dimension finie de V. Démontrer que $\mathfrak{s}$ contient un projecteur $e_M$ de V d’image M (soit $N'\subset V'$ un supplémentaire de l’orthogonal de M ; démontrer qu’il existe des bases $(v_j)_{1\leqslant j\leqslant k}$ de M et $(\ell_i)_{1\leqslant i\leqslant k}$ de $N'$ telles que $\ell_i(v_j) =\delta_{ij}$, et considérer l’endomorphisme $x\rightarrow \sum_iv_i\ell_i(x)$). Soit N le noyau de $e_M$; démontrer que tout endomorphisme $u$ de V tel que $u(M)\subset M$ et $u(N) = 0$ appartient à $\mathfrak{s}$.

g) Soit J une partie finie de A. Démontrer qu’il existe une décomposition $V = M\oplus N$, où M est un sous-espace de dimension finie et N est l’orthogonal d’une partie finie de $V'$, telle que l’anneau des endomorphismes $u$ de V tels que $u(M)\subset M$ et $u(N) = 0$ soit contenu dans A et contienne J (soient $M_1=\sum_{u\in J}$ Im $u, N_1=\cap_{u\in J}$ Ker $u$; appliquer f ) à un sous-espace M contenant $M_1$ et tel que $M + N_1= V$, puis prendre N contenu dans $N_1)$.