Bài tập 4, § 8

Cho A là một vành Noether trái nửa nguyên tố (Bài tập 3) và S là tập hợp các phần tử rút gọn được của nó (xem VIII, p. 75, Bài tập 8).

a) Chứng minh rằng mọi iđêan khác không (trái hoặc phải) của A đều chứa một phần tử không lũy linh. (Cho $\mathfrak{a}$ là một iđêan phải của A gồm các phần tử lũy linh. Cho $x$ là một phần tử khác không của $\mathfrak{a}$ mà linh hóa tử trái của nó là cực đại. Nhận xét rằng đối với mọi phần tử $a$ của A và mọi số nguyên $n\geqslant 1$ sao cho $(xa)^n\not= 0$, linh hóa tử trái của $(xa)^n$ bằng linh hóa tử trái của $x$, và suy ra rằng ta có $xax= 0.$)

b) Chứng minh rằng S cho phép một phép tính phân thức trái trên A (VIII, p. 18, Bài tập 18). (Với $a\in A$ và $s\in S$, chứng minh rằng tập hợp các phần tử $x$ của A sao cho $xa\in As$ là một iđêan trái bất khả quy của A (VIII, p. 75, Bài tập 7), và kết luận bằng cách sử dụng a) và Bài tập 8, d) của VIII, p. 75.)

c) Chứng minh rằng vành $S^{-1}A$ là nửa đơn (“định lý Goldie” [^1]). (Cho $\mathfrak{b}$ là một iđêan trái bất khả quy của $S^{-1}A$. Chứng minh rằng $A\cap \mathfrak{b}$ là một iđêan trái bất khả quy của A, rồi sử dụng Bài tập 8, d) của VIII, p. 75 để chứng minh rằng $\mathfrak{b}= S^{-1}A$. Kết luận bằng cách sử dụng Bài tập 7, b) của VIII, p. 75.)

[^1]: Về các cách tiếp cận khác đối với kết quả này, xem X, §1, p. 171, bài tập 25 và Comm. Alg., II, §2, p. 135, Bài tập 26.