Exercice 4, § 8

Soit A un anneau noethérien à gauche semi-premier (exerc. 3), S l’ensemble de ses éléments simplifiables (cf. VIII, p. 71, exerc. 8).

a) Démontrer que tout idéal non nul (à gauche ou à droite) de A contient un élément non nilpotent (soit $\mathfrak{a}$ un idéal à droite de A formé d’éléments nilpotents ; soit $x$ un élément non nul de $\mathfrak{a}$ dont l’annulateur à gauche est maximal. Pour tout élément $a$ de A et tout entier $n\geqslant 1$ tel que $(xa)^n\not= 0$, observer que l’annulateur à gauche de $(xa)^n$ est égal à celui de $x$, et en déduire qu’on a $xax= 0$).

b) Démontrer que S permet un calcul des fractions à gauche sur A (VIII, p. 17, exerc. 18) : si $a\in A, s\in S$, prouver que l’ensemble des éléments $x$ de A tels que $xa\in As$ est un idéal à gauche essentiel de A (VIII, p. 71, exerc. 7), et conclure à l’aide de a) et de l’exerc. 8, d) de VIII, p. 71.

c) Démontrer que l’anneau $S^{-1}A$ est semi-simple (« théorème de Goldie »[^1]) : soit $\mathfrak{b}$ un idéal à gauche essentiel de $S^{-1}A$; montrer que $A\cap \mathfrak{b}$ est un idéal à gauche essentiel de A, puis à l’aide de l’exerc. 8, d) de VIII, p. 71, que $\mathfrak{b}= S^{-1}A$, et conclure à l’aide de l’exerc. 7, b) de VIII, p. 71).

[^1]: Pour d’autres approches de ce résultat, voir X, p. 171, exerc. 25 et AC, II, p. 165, exerc. 26.