Bài tập 1, § 9

Cho K là một trường giao hoán có đặc số $p, M$ là một $p$-nguyên sơ $\mathbf{Z}$-môđun, A là đại số của nhóm M trên K, và $\mathfrak{m}$ là tập hợp các phần tử $\sum_ma_me_m$ của A (xem III, §2, No. 6, p. 446) với $\sum_ma_m= 0$.

a) Chứng minh rằng A là một vành địa phương, với iđêan cực đại $\mathfrak{m}$, và rằng $\mathfrak{m}$ là một iđêan nil (xem VIII, p. 41, Bài tập 10).

b) Giả sử thêm rằng phép vị tự $p_M$ là toàn ánh. Chứng minh rằng ta có $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}^2$.