Exercice 1, § 9

Soient K un corps commutatif de caractéristique $p, M$ un $\mathbf{Z}$-module $p$-primaire, A l’algèbre du groupe M sur $K,\mathfrak{m}$ l’ensemble des éléments $\sum_ma_me_m$ de A tels que l’on ait $\sum_ma_m= 0$.

a) Démontrer que A est un anneau local, d’idéal maximal $\mathfrak{m}$, et que $\mathfrak{m}$ est un nilidéal (cf. VIII, p. 38, exerc. 10).

b) On suppose de plus que l’homothétie $p_M$ est surjective. Démontrer qu’on a $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}^2$.