Bài tập 18, § 9

a) Cho A là một vành, $\mathfrak{a}$ là một iđêan lũy linh hai phía của A, và $(e_n)_{n\geqslant 1}$ là một dãy các lũy đẳng trực giao trong $A/\mathfrak{a}$. Chứng minh rằng tồn tại một dãy các lũy đẳng trực giao $(e_n)_{n\geqslant 1}$ trong A sao cho $e_n$ là lớp của $e_n$ trong $A/\mathfrak{a}$ với mọi $n$. (Cho $e$ và $e'$ là hai lũy đẳng trực giao trong $A/\mathfrak{a},e'$ là một lũy đẳng trong A nâng $e'$, và cho $a$ là một đại diện của $e$ trong A. Nhận xét rằng ta có thể sửa $a$ để có $ae'=e'a$, và rồi, như trong Mệnh đề 7 của VIII, p. 159, để có $a^2=a.$) b) Cho K là một trường giao hoán, L là một tập hợp không đếm được, và A là đại số trên K xác định trong bài tập trước. Chứng minh rằng không tồn tại bất kỳ họ các lũy đẳng trực giao $(e_{\lambda})_{\lambda\in L}$ nào trong A thỏa mãn $e_{\lambda}\equiv c_{\lambda}$ (mod $\mathfrak{R}(A)$) đối với mọi $\lambda \in L$. (Xét tập hợp H gồm các phần tử $(\lambda , \mu)$ của $L\times L$ sao cho $c_{\lambda}(e_\mu-c_\mu) = 0$. Nhận xét rằng các tập hợp $H\cap (\{\lambda \} \times L)$ là hữu hạn với mọi $\lambda \in L$ và các tập hợp $H\cap (L\times \{\mu\})$ là hữu hạn với mọi $\mu\in L.$)