Exercice 18, § 9

a) Soient A un anneau, $\mathfrak{a}$ un nilidéal bilatère de $A, (\overline{e}_n)_{n\geqslant 1}$ une suite orthogonale d’idempotents de $A/\mathfrak{a}$. Démontrer qu’il existe une suite orthogonale $(e_n)_{n\geqslant 1}$ d’idempotents de A telle que $\overline{e}_n$ soit la classe de $e_n$ dans $A/\mathfrak{a}$ pour tout $n$ (soient $e, e'$ deux idempotents orthogonaux de $A/\mathfrak{a},e'$ un idempotent de A relevant $\overline{e}',a$ un représentant de $e$ dans A ; observer qu’on peut modifier $a$ de façon que $ae'=e'a$, puis comme dans la prop. 7 de VIII, p. 155 que $a^2=a$).

b) Soient K un corps commutatif, L un ensemble non dénombrable, A la K-algèbre définie dans l’exercice précédent. Démontrer qu’il n’existe pas de famille orthogonale $(e_{\lambda})_{\lambda\in L}$ d’idempotents de A satisfaisant à $e_{\lambda}\equiv c_{\lambda}$ (mod $\mathfrak{R}(A)$) pour tout $\lambda \in L$ (considérer l’ensemble H des éléments $(\lambda , \mu )$ de $L\times L$ tels que $c_{\lambda}(e_{\mu}-c_{\mu}) = 0$, et observer que les ensembles $H\cap (\{\lambda \} \times L)$ pour tout $\lambda \in L$ et $\complement H\cap (L\times \{\mu \})$ pour tout $\mu \in L$ sont finis).