Bài tập 22, § 9

Cho A là một miền nguyên giao hoán chỉ có một số hữu hạn $s >1$ các iđêan cực đại $\mathfrak{m}_1, . . . ,\mathfrak{m}_s$.

a) Chứng minh rằng vành $A/\mathfrak{R}(A)$ đẳng cấu với tích của các trường $A/\mathfrak{m}_i$.

b) Chứng minh rằng các A-môđun $A/\mathfrak{m}_i$ không nhận bao xạ ảnh, mặc dù chúng là xạ ảnh và sinh hữu hạn như các $A/\mathfrak{R}$(A)-môđun (hãy nhận thấy rằng A là một bao xạ ảnh của $A/\mathfrak{R}(A)$).

c) Cho K là một trường giao hoán. Chứng minh rằng vành con A của trường K(T) gồm các phân thức hữu tỉ có thể viết được dưới dạng $P(T)/Q(T)$ với $Q(0)\not= 0$ và $Q(1)\not= 0$ có các tính chất đã yêu cầu.