Exercice 22, § 9

Soit A un anneau commutatif intègre, n’admettant qu’un nombre fini $s >1$ d’idéaux maximaux $\mathfrak{m}_1, . . . ,\mathfrak{m}_s$.

a) Démontrer que l’anneau $A/\mathfrak{R}(A)$ est isomorphe au produit des corps $A/\mathfrak{m}_i$.

b) Prouver que les A-modules $A/\mathfrak{m}_i$ n’admettent pas de couverture projective, bien qu’ils soient projectifs de type fini en tant que $A/\mathfrak{R}$(A)-module (observer que A est une couverture projective de $A/\mathfrak{R}(A)$).

c) Soit K un corps commutatif ; démontrer que le sous-anneau A du corps K(T) formé des fractions rationnelles qui peuvent s’écrire $P(T)/Q(T)$ avec $Q(0)\not= 0,Q(1)\not= 0$ possède les propriétés précédentes.