Bài tập 18, § 2

Cho $E$ là một dãy phổ (bài tập 14), sao cho $A$-môđun $E_2$ có độ dài hữu hạn. Cho $\chi$ là tập hợp các lớp của các $A$-môđun có độ dài hữu hạn; bây giờ chứng minh rằng ta có $\chi(E_r)=\chi(E_2)=\chi(E_\infty)$ với mọi $r\geq2$ (X, p. 41). Nếu hơn nữa $E$ hội tụ về một $A$-môđun phân bậc $G$, thì môđun sau có độ dài hữu hạn và ta có $\chi(G)=\chi(E_\infty)$.

☡19) Một lược đồ đơn hình được gọi là một cặp $(K,\mathscr F)$, trong đó $K$ là một tập hợp và $\mathscr F$ là một tập hợp các tập con hữu hạn của $K$, được gọi là các mặt của $K$, sao cho mọi tập con của một mặt đều là một mặt và mọi điểm của $K$ thuộc ít nhất một mặt. Một ánh xạ đơn hình từ một lược đồ đơn hình $(K,\mathscr F)$ vào một lược đồ đơn hình $(L,\mathscr G)$ là một ánh xạ từ $K$ vào $L$ biến mọi mặt của $K$ thành một mặt của $L$.

a) Cho $n$ là một số nguyên $\geq0$. Một $n$-đơn hình của lược đồ đơn hình $K$ được gọi là mọi dãy $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$ gồm các phần tử của $K$ sao cho các $\alpha_i$ thuộc cùng một mặt của $K$. Ta ký hiệu bởi $S_n(K,A)$ $A$-môđun tự do sinh bởi các $n$-đơn hình với $n\geq0$, và ta đặt $S_n(K,A)=0$ với $n<0$. Ta định nghĩa một $A$-đồng cấu

bằng cách đặt $d_n=0$ với $n\leq0$ và

với mọi $n$-đơn hình $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$ (dấu $\widehat{\ }$ trên một chữ cái có nghĩa là chữ cái đó được bỏ đi). Bây giờ chứng minh rằng $d_{n-1}\circ d_n=0$ với mọi $n$, sao cho $(S(K,A),d)$ là một phức các $A$-môđun. Người ta định nghĩa tương tự một $A$-phức $C(K,A)$ bằng cách đặt $C^n(K,A)=\operatorname{Hom}_A(S_n(K,\mathbf Z),A)$, $\delta^n=\operatorname{Hom}(d_{n+1},1_A)$ với mọi $n$. Với $n\geq0$, đôi khi người ta ký hiệu bởi $H_n(K,A)$ (tương ứng $H^n(K,A)$) $A$-môđun $H_n(S(K,A))$ (tương ứng $H^n(C(K,A))$).

b) Cho $K,L$ là hai lược đồ đơn hình, $f:K\rightarrow L$ là một ánh xạ đơn hình. Bây giờ chứng minh rằng $f$ cảm sinh các cấu xạ của các phức $S(f):S(K,A)\rightarrow S(L,A)$ và $C(f):C(L,A)\rightarrow C(K,A)$, do đó các $A$-đồng cấu $f_*:H(K,A)\rightarrow H(L,A)$ và $f^*:H(L,A)\rightarrow H(K,A)$.

c) Cho $g:K\rightarrow L$ là một ánh xạ đơn hình thứ hai. Ta nói rằng $f$ và $g$ đồng luân đơn hình nếu, đối với mọi mặt $\sigma$ của $K$, tập hợp $f(\sigma)\cup g(\sigma)$ là một mặt của $L$. Bây giờ chứng minh rằng các cấu xạ $S(f)$ và $S(g)$ (tương ứng $C(f)$ và $C(g)$) khi đó là đồng luân (định nghĩa một đồng luân $h$ bằng cách đặt

đối với mọi đơn hình $n$ $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$).

d) Ta nói rằng lược đồ đơn hình $K$ là hình nón nếu tồn tại một điểm $s$ của $K$ sao cho, đối với mọi mặt $\sigma$ của $K$, $\sigma\cup\{s\}$ là một mặt. Bây giờ chứng minh rằng khi đó tồn tại các đồng luân đồng cấu của $S(K,A)$ và của $C(K,A)$ lên trên $A$.

e) Cho $D(K,A)$ là phức con của $S(K,A)$ sinh bởi các đơn hình $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$ mà trong đó hai trong số các $\alpha_i$ bằng nhau, và bởi các phần tử có dạng

đối với mọi đơn hình $n$ $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$ và mọi phép hoán vị $\sigma$ của $\{0,\ldots,n\}$. Bây giờ chứng minh rằng $D(K,A)$ là một phức con của $S(K,A)$, và rằng ánh xạ chuyển qua thương

là một đồng luân đồng cấu (một đồng luân đồng cấu ngược lại thu được bằng cách chọn một thứ tự toàn phần trên $K$ và gán cho lớp modulo $D(K,A)$ của một đơn hình $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$ đơn hình

trong đó $\sigma$ là phép hoán vị sao cho $\alpha_{\sigma(0)}<\cdots<\alpha_{\sigma(n)}$ nếu mọi $\alpha_i$ đều khác nhau, và $0$ trong trường hợp ngược lại).

*20) Cho $R$ là một vành định giá rời rạc đầy đủ (AC, VI, § 3, no 6), với trường thặng dư $k$ có đặc số $p>0$. Giả sử rằng trường phân thức của $R$ có đặc số $0$. Ký hiệu $v$ là định giá chuẩn hóa của $\mathbf{R}$, $\mathfrak m$ là iđêan cực đại của $\mathbf{R}$ và $\mathbf{R}^*$ là nhóm nhân của các đơn vị của $\mathbf{R}$. Với mỗi số nguyên $n\geq 0$, cho $\mathbf{R}^*(n)$ là nhóm con của $\mathbf{R}^*$ tạo bởi các phần tử $x$ sao cho $v(x-1)\geq n$.

a) Cho $r$ là một số nguyên, $r>v(p)/(p-1)$. Chứng minh rằng chuỗi

hội tụ với $x\in\mathfrak m^r$ và xác định một đẳng cấu của nhóm cộng $\mathfrak m^r$ lên nhóm $\mathbf{R}^*(r)$.

b) Giả sử rằng $k$ là một trường hữu hạn có $q$ phần tử. Cho $n$ là một số nguyên $\geq 1$, $\mu_n$ là nhóm con gồm các phần tử $x$ của $\mathbf{R}^*$ sao cho $x^n=1$. Chứng minh rằng các nhóm $\mu_n$ và $\mathbf{R}^*/(\mathbf{R}^*)^n$ là hữu hạn và ta có

(Cho $\mathscr C$ là tập hợp các lớp của các $\mathbf{Z}$-môđun hữu hạn, $\varphi:K(\mathscr C)\to\mathbf{Q}^*$ là đồng cấu được xác định bởi

$\mathscr C^{(r)}$ là phức các $\mathbf{Z}$-môđun sao cho $C_p^{(r)}=0$ với $p\neq0,1$, $C_0^{(r)}=C_1^{(r)}=\mathbf{R}^*(r)$, $d_1(x)=x^n$ với $x\in\mathbf{R}^*(r)$. Chứng minh rằng $\varphi(H(\mathscr C^{(r)}))$ độc lập với $r$, sau đó sử dụng a.).)*

21) Giả sử rằng vành A là một đại số giao hoán trên một vành giao hoán $k$; A-môđun $D_k(A)$ của các đạo hàm $k$ của A khi đó được đồng nhất với đối ngẫu của A-môđun $\Omega^1_{A/k}$, điều này xác định trên $\Omega_{A/k}$ một cấu trúc của $\Lambda_A(D_k(A))$-môđun trái (cf. III, p. 165). Chứng minh công thức

trong đó $\omega\in\Omega^p_{A/k}$, $X_0,\ldots,X_p\in D_k(A)$, và trong đó dấu $\widehat{\ }$ trên một chữ cái có nghĩa là chữ cái đó được bỏ đi. (Rút gọn về trường hợp $p=1$.)

22) Ta giữ lại các quy ước của bài tập trước; nếu M là một A-môđun, $\nabla$ là một liên thông trên M và nếu $X\in D_k(A)$, ta ký hiệu bởi $\nabla_X$ tự đồng cấu $k$ $(1_M\otimes X)\circ\nabla$ của M.

(a) Cho $M_1,M_2$ là hai A-môđun, được trang bị các liên thông ${}^1\nabla,{}^2\nabla$; hãy chứng minh rằng ta xác định được một liên thông $\nabla$ trên $M_1\oplus M_2$ (tương ứng $M_1\otimes_A M_2$, tương ứng $\operatorname{Hom}_A(M_1,M_2)$) bằng cách đặt $\nabla(m_1+m_2)={}^1\nabla(m_1)+{}^2\nabla(m_2)$ với $m_1\in M_1$, $m_2\in M_2$ (tương ứng $\nabla_X(m_1\otimes m_2)={}^1\nabla_X(m_1)\otimes m_2+m_1\otimes{}^2\nabla_X(m_2)$ với $X\in D_k(A)$, $m_1\in M_1$ và $m_2\in M_2$, tương ứng $\nabla_X(u)={}^2\nabla_X\circ u-u\circ{}^1\nabla_X$ với $X\in D_k(A)$, $u\in\operatorname{Hom}_A(M_1,M_2)$.

(b) Cho M là một A-môđun, $\nabla:M\to M\otimes_A\Omega^1_{A/k}$ là một liên thông trên M. Nếu $X,Y\in D_k(A)$, ta ký hiệu bởi $R(X,Y)$ tự đồng cấu A của M sao cho $R(X,Y)(m)=\langle R(m),X\wedge Y\rangle$ với mọi $m\in M$. Chứng minh công thức: $R(X,Y)=[\nabla_X,\nabla_Y]-\nabla_{[X,Y]}$ (sử dụng Bài tập 21).

(c) Giả sử rằng A-môđun M là xạ ảnh, sao cho đồng cấu độ cong R được đồng nhất với một phần tử của $\operatorname{End}_A(M)\otimes_A\Omega^2_{A/k}$. Nếu $\operatorname{End}_A(M)$ được trang bị liên thông $\nabla$ được xác định trong (a), hãy chứng minh rằng ta có $\nabla^2R=0$.